行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ と $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$P^{-1}AP$ と $P^{-1}A^3P$ を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ と $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$P^{-1}AP$ と $P^{-1}A^3P$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$P^{-1}$を求める。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ の行列式は $(1)(-1) - (1)(3) = -4$ なので、

$P^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 \\ 3/4 & -1/4 \end{pmatrix}$

次に、$P^{-1}AP$を計算する。

$AP = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 15 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 \\ 3/4 & -1/4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 15 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

したがって、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

次に、$P^{-1}A^3P$を計算する。

$(P^{-1}AP)^3 = (P^{-1}AP)(P^{-1}AP)(P^{-1}AP) = P^{-1}A(PP^{-1})A(PP^{-1})AP = P^{-1}A^3P$

したがって、$P^{-1}A^3P = (P^{-1}AP)^3$

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ なので、

$(P^{-1}AP)^3 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 5^3 & 0 \\ 0 & (-1)^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 125 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}A^3P = \begin{pmatrix} 125 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

## 問題2

1. 問題の内容

$4 \times 4$ 行列 $A, B, C$ が $A^2 + A - 2E = O$, $B^2 = O$, $C = E + B$ を満たすとき、$A, B, C$ のうち逆行列を持つものを判定する。$E$ は $4 \times 4$ 単位行列、$O$ は $4 \times 4$ 零行列とする。

2. 解き方の手順

* $A^2 + A - 2E = O$ より $A^2 + A = 2E$。 $A(A + E) = 2E$。 これより、$A (\frac{1}{2}(A+E)) = E$ よって $A$ は逆行列を持つ。

* $B^2 = O$ より、$B$ の行列式は $0$ であるため、$B$ は逆行列を持たない。

* $C = E + B$ より、$C$ が逆行列を持つかどうかは、$B$ に依存する。例えば、もし $B$ が $-E$ なら $C = O$ となり逆行列を持たない。しかし、$B$ が $-E$ でなければ $C$ が逆行列を持つこともありえる。

3. 最終的な答え

$A$ は逆行列を持つ。

$B$ は逆行列を持たない。

$C$ は逆行列を持つとは限らない。

## 問題3

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ が対称行列 $S$ と交代行列 $T$ の和 $A = S + T$ で表されるとき、以下の問いに答える。

(1) $S$ と $T$ を求めよ。

(2) $T^4 + 6T^2 + E = O$ を示せ。また、逆行列 $T^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A = S + T$ となる対称行列 $S$ と交代行列 $T$ を求める。

$A^T = S^T + T^T = S - T$

$A + A^T = (S + T) + (S - T) = 2S$ より $S = \frac{1}{2}(A + A^T)$

$A - A^T = (S + T) - (S - T) = 2T$ より $T = \frac{1}{2}(A - A^T)$

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$S = \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$T = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 & -2 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $T^4 + 6T^2 + E = O$ を示す。

$T^2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$T^4 = (T^2)^2 = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 & 0 & -12 & 0 \\ 0 & 29 & 0 & -12 \\ -12 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & -12 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

$T^4 + 6T^2 + E = \begin{pmatrix} 29 & 0 & -12 & 0 \\ 0 & 29 & 0 & -12 \\ -12 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & -12 & 0 & 5 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} -5 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29-30+1 & 0 & -12+12 & 0 \\ 0 & 29-30+1 & 0 & -12+12 \\ -12+12 & 0 & 5-6+1 & 0 \\ 0 & -12+12 & 0 & 5-6+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O$

$T^4 + 6T^2 + E = O$ より、$T^4 + 6T^2 = -E$。 $T^2(T^2 + 6E) = -E$。 よって、$T^2(-T^2 - 6E) = E$。 $T(T(-T^2 -6E))=E$ ゆえに、$T^{-1} = T(-T^2 - 6E) = -T^3 - 6T$

$T^3 = T T^2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -12 & 0 & 5 \\ 12 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & -2 \\ -5 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$T^{-1} = -T^3 - 6T = - \begin{pmatrix} 0 & -12 & 0 & 5 \\ 12 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & -2 \\ -5 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} - 6 \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 12 & 0 & -5 \\ -12 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 2 \\ 5 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -12 & 0 & 6 \\ 12 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ -6 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$、 $T = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $T^4 + 6T^2 + E = O$

$T^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$