複素数 $z$ が虚数であるとき、$z_1 = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ で定義される複素数 $z_1$ が描く図形が、中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径1の円となる理由を説明すること。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が虚数であるとき、$z_1 = z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ で定義される複素数 $z_1$ が描く図形が、中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径1の円となる理由を説明すること。

2. 解き方の手順

まず、$z$ が虚数であるという条件を数式で表します。

$z = ai$ （$a$ は実数）とおくことができます。

次に、$z_1$ を $a$ を用いて表します。

$z_1 = ai + \sqrt{2} + \sqrt{2}i$

$z_1 = \sqrt{2} + (a + \sqrt{2})i$

$z_1$ は複素数であり、$z_1 = x + yi$ と表せるとします。（$x,y$ は実数）

上の式と見比べると、$x = \sqrt{2}$、$y = a + \sqrt{2}$ がわかります。

$a = y - \sqrt{2}$ であり、$a$ は実数なので、$y - \sqrt{2}$ も実数です。

ここで、$z_1$ と中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ の距離を計算します。

$|z_1 - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)| = |(\sqrt{2} + (a + \sqrt{2})i) - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)| = |ai| = |a|$

$|a|$ が常に1であれば、確かに半径1の円を描くことになります。

しかし、$z$ が純虚数という条件だけでは、$|a|=1$ とは限りません。問題文に半径1と書いてあるので、条件を追加する必要があります。

問題文には記載されていませんが、おそらく$|z|=1$という条件が付いていると考えられます。この条件を加えると、$|z|=|ai|=|a|=1$　となり、$|z_1 - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)| = |a|=1$となります。

したがって、$|z|=1$という条件のもとで、$z_1$ は中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径1の円を描きます。これは、$z_1$ と中心との距離が常に1であることによります。

3. 最終的な答え

$z$ が純虚数であるという条件だけでは、$z_1$ が描く図形が中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径1の円であるとは言えません。$|z| = 1$という条件が加わることで、$|z_1 - (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)| = 1$ となり、これは中心 $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$、半径1の円を表すからです。