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与えられた7つの2次関数について、それぞれの頂点の座標を求める問題です。 各2次関数は $y = ax^2 + bx + c$ の形で与えられています。頂点のx座標 $p$ とy座標 $q$ を求めるための公式がヒントとして与えられています。

代数学二次関数頂点二次関数のグラフ
2025/5/14

1. 問題の内容

与えられた7つの2次関数について、それぞれの頂点の座標を求める問題です。
各2次関数は y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c の形で与えられています。頂点のx座標 pp とy座標 qq を求めるための公式がヒントとして与えられています。

2. 解き方の手順

各2次関数について、以下の手順で頂点を求めます。
* aa, bb, cc の値を特定する。
* 頂点のx座標 pp を公式 p=−b2ap = -\frac{b}{2a} を用いて計算する。
* 頂点のy座標 qq を公式 q=−b2−4ac4aq = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} を用いて計算する。
* 頂点の座標 (p,q)(p, q) を記述する。
以下に、各関数について頂点の座標を計算します。

1. $y = 5x^2 - 2x + 1$

* a=5a = 5, b=−2b = -2, c=1c = 1
* p=−−22⋅5=15p = -\frac{-2}{2 \cdot 5} = \frac{1}{5}
* q=−(−2)2−4⋅5⋅14⋅5=−4−2020=−−1620=45q = -\frac{(-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}{4 \cdot 5} = -\frac{4 - 20}{20} = -\frac{-16}{20} = \frac{4}{5}
* 頂点: (15,45)(\frac{1}{5}, \frac{4}{5})

2. $y = x^2 - 5x + 3$

* a=1a = 1, b=−5b = -5, c=3c = 3
* p=−−52⋅1=52p = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}
* q=−(−5)2−4⋅1⋅34⋅1=−25−124=−134q = -\frac{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}{4 \cdot 1} = -\frac{25 - 12}{4} = -\frac{13}{4}
* 頂点: (52,−134)(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})

3. $y = x^2 - 4$

* a=1a = 1, b=0b = 0, c=−4c = -4
* p=−02⋅1=0p = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0
* q=−02−4⋅1⋅(−4)4⋅1=−0+164=−4q = -\frac{0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}{4 \cdot 1} = -\frac{0 + 16}{4} = -4
* 頂点: (0,−4)(0, -4)

4. $y = x^2 - 8x + 5$

* a=1a = 1, b=−8b = -8, c=5c = 5
* p=−−82⋅1=4p = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4
* q=−(−8)2−4⋅1⋅54⋅1=−64−204=−444=−11q = -\frac{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}{4 \cdot 1} = -\frac{64 - 20}{4} = -\frac{44}{4} = -11
* 頂点: (4,−11)(4, -11)

5. $y = 4x^2 - 2x + 9$

* a=4a = 4, b=−2b = -2, c=9c = 9
* p=−−22⋅4=14p = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}
* q=−(−2)2−4⋅4⋅94⋅4=−4−14416=−−14016=354q = -\frac{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9}{4 \cdot 4} = -\frac{4 - 144}{16} = -\frac{-140}{16} = \frac{35}{4}
* 頂点: (14,354)(\frac{1}{4}, \frac{35}{4})

6. $y = -4x^2 - 2x + 9$

* a=−4a = -4, b=−2b = -2, c=9c = 9
* p=−−22⋅(−4)=−14p = -\frac{-2}{2 \cdot (-4)} = -\frac{1}{4}
* q=−(−2)2−4⋅(−4)⋅94⋅(−4)=−4+144−16=−148−16=374q = -\frac{(-2)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 9}{4 \cdot (-4)} = -\frac{4 + 144}{-16} = -\frac{148}{-16} = \frac{37}{4}
* 頂点: (−14,374)(-\frac{1}{4}, \frac{37}{4})

7. $y = -5x^2 - 4x + 10$

* a=−5a = -5, b=−4b = -4, c=10c = 10
* p=−−42⋅(−5)=−25p = -\frac{-4}{2 \cdot (-5)} = -\frac{2}{5}
* q=−(−4)2−4⋅(−5)⋅104⋅(−5)=−16+200−20=−216−20=545q = -\frac{(-4)^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 10}{4 \cdot (-5)} = -\frac{16 + 200}{-20} = -\frac{216}{-20} = \frac{54}{5}
* 頂点: (−25,545)(-\frac{2}{5}, \frac{54}{5})

3. 最終的な答え

1. $(\frac{1}{5}, \frac{4}{5})$

2. $(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})$

3. $(0, -4)$

4. $(4, -11)$

5. $(\frac{1}{4}, \frac{35}{4})$

6. $(-\frac{1}{4}, \frac{37}{4})$

7. $(-\frac{2}{5}, \frac{54}{5})$

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