2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10) = 0$ の解が以下の条件を満たすような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (1) 異符号の解をもつ (2) 正でない実数解のみをもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10) = 0$ の解が以下の条件を満たすような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(1) 異符号の解をもつ

(2) 正でない実数解のみをもつ

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10)$ とおく。

(1) 異符号の解をもつ場合

異符号の解を持つためには、$f(0) < 0$ が必要十分条件となる。

$f(0) = 2(k^2 + 3k - 10) < 0$

$k^2 + 3k - 10 < 0$

$(k + 5)(k - 2) < 0$

したがって、$-5 < k < 2$

(2) 正でない実数解のみをもつ場合

正でない実数解のみを持つためには、以下の条件が必要となる。

(i) 判別式 $D \ge 0$

(ii) 軸の位置 $k+1 \le 0$

(iii) 2つの解の積 $2(k^2+3k-10) \ge 0$

$D/4 = (k+1)^2 - 2(k^2+3k-10) = k^2 + 2k + 1 - 2k^2 - 6k + 20 = -k^2 - 4k + 21 \ge 0$

$k^2 + 4k - 21 \le 0$

$(k+7)(k-3) \le 0$

$-7 \le k \le 3$

(ii) $k+1 \le 0$ より、 $k \le -1$

(iii) $2(k^2+3k-10) \ge 0$

$k^2+3k-10 \ge 0$

$(k+5)(k-2) \ge 0$

$k \le -5$ または $k \ge 2$

したがって、(i), (ii), (iii) の条件を全て満たす $k$ の範囲は、

$-7 \le k \le 3$, $k \le -1$, $k \le -5$ または $k \ge 2$ より、

$-7 \le k \le -5$ または $2 \le k \le 3$

$k = 2$のとき、$x = 0,2$ となり、正でない実数解のみではないので、$k \neq 2$

$k = 3$のとき、$x = -2, -2$ となり、正でない実数解のみをもつ。

最終的な答えは、

$-7 \le k \le -5$ または $k = 3$

3. 最終的な答え

(1) $-5 < k < 2$

(2) $-7 \le k \le -5$ または $k = 3$