次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。 (2) $2(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2$

1. 問題の内容

次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。

(2) $2(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2$

2. 解き方の手順

まず、不等式の左辺から右辺を引いた式を変形し、平方完成を目指します。

$2(x^2 + y^2) - (x+y)^2 = 2x^2 + 2y^2 - (x^2 + 2xy + y^2)$

$= 2x^2 + 2y^2 - x^2 - 2xy - y^2$

$= x^2 - 2xy + y^2$

$= (x-y)^2$

$(x-y)^2 \geq 0$ は常に成立します。

したがって、$2(x^2 + y^2) - (x+y)^2 \geq 0$ より、$2(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$(x-y)^2 = 0$ のときです。

これは、$x - y = 0$、すなわち $x = y$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $2(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2$ は証明された。

等号が成り立つ条件は $x = y$ である。