複素数の範囲で以下の式を因数分解する問題です。 (1) $\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{2}x + \sqrt{27}$ (2) $x^4 - 81$ (3) $x^4 + 2x^2 + 49$

1. 問題の内容

複素数の範囲で以下の式を因数分解する問題です。

(1) $\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{2}x + \sqrt{27}$

(2) $x^4 - 81$

(3) $x^4 + 2x^2 + 49$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{2}x + \sqrt{27}$ を因数分解します。

まず、$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$なので、式は $\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{2}x + 3\sqrt{3}$ となります。

解の公式を用いて、$x$を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{3}(3\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 36}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{-28}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2i\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ と $x = \frac{\sqrt{2} - i\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ が解なので、

$\sqrt{3}(x - \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{7}}{\sqrt{3}})(x - \frac{\sqrt{2} - i\sqrt{7}}{\sqrt{3}}) = (\sqrt{3}x - \sqrt{2} - i\sqrt{7})(\sqrt{3}x - \sqrt{2} + i\sqrt{7})$

(2) $x^4 - 81$ を因数分解します。

これは $x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x-3)(x+3)(x^2+9)$ となります。

さらに $x^2+9 = 0$ を解くと、$x = \pm 3i$ となるので、

$x^4 - 81 = (x-3)(x+3)(x-3i)(x+3i)$

(3) $x^4 + 2x^2 + 49$ を因数分解します。

$x^4 + 2x^2 + 49 = (x^4 + 14x^2 + 49) - 12x^2 = (x^2 + 7)^2 - (2\sqrt{3}x)^2 = (x^2 + 2\sqrt{3}x + 7)(x^2 - 2\sqrt{3}x + 7)$

$x^2 + 2\sqrt{3}x + 7 = 0$ の解は $x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 28}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 4i}{2} = -\sqrt{3} \pm 2i$

$x^2 - 2\sqrt{3}x + 7 = 0$ の解は $x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 28}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4i}{2} = \sqrt{3} \pm 2i$

$x^4 + 2x^2 + 49 = (x - (-\sqrt{3} + 2i))(x - (-\sqrt{3} - 2i))(x - (\sqrt{3} + 2i))(x - (\sqrt{3} - 2i)) = (x + \sqrt{3} - 2i)(x + \sqrt{3} + 2i)(x - \sqrt{3} - 2i)(x - \sqrt{3} + 2i)$

3. 最終的な答え

(1) $(\sqrt{3}x - \sqrt{2} - i\sqrt{7})(\sqrt{3}x - \sqrt{2} + i\sqrt{7})$

(2) $(x-3)(x+3)(x-3i)(x+3i)$

(3) $(x + \sqrt{3} - 2i)(x + \sqrt{3} + 2i)(x - \sqrt{3} - 2i)(x - \sqrt{3} + 2i)$