定数 $m$ について、連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 3mx + 2m^2 < 0 \\ 2x^2 - (m-4)x - 2m < 0 \end{cases}$ の整数解がただ一つとなるような $m$ の値の範囲を求め、そのときの整数解を求める。

1. 問題の内容

定数 $m$ について、連立不等式

$\begin{cases} x^2 - 3mx + 2m^2 < 0 \\ 2x^2 - (m-4)x - 2m < 0 \end{cases}$

の整数解がただ一つとなるような $m$ の値の範囲を求め、そのときの整数解を求める。

2. 解き方の手順

まず、各不等式を解きます。

(1) $x^2 - 3mx + 2m^2 < 0$

$(x-m)(x-2m) < 0$

$m < 2m$ である場合、$m < x < 2m$ となります。

$2m < m$ である場合、$2m < x < m$ となりますが、これはありえません。

したがって、$m < x < 2m$。

(2) $2x^2 - (m-4)x - 2m < 0$

$(2x+m)(x-2) < 0$

$2x^2 - (m-4)x - 2m = 0$ を解くと、

$x = 2, -\frac{m}{2}$

となります。

$-\frac{m}{2} < 2$ の場合、$-\frac{m}{2} < x < 2$ となります。

$2 < -\frac{m}{2}$ の場合、$2 < x < -\frac{m}{2}$ となります。

以上より、連立不等式の解は、

(i) $m < x < 2m$ かつ $-\frac{m}{2} < x < 2$ の場合

(ii) $m < x < 2m$ かつ $2 < x < -\frac{m}{2}$ の場合

(i) の場合、$m < x < 2$ かつ $-\frac{m}{2} < x < 2m$ となるため、数直線上で考えます。

この不等式を満たす整数解がただ一つとなるためには、

$-\frac{m}{2} < m < 2m < 2$　もしくは、　$m < -\frac{m}{2} < 2 < 2m$

となる場合がある。しかし、$m < 2m$ なので、 $m < -\frac{m}{2}$　はありえない。

$m < x < 2, -\frac{m}{2} < x < 2m$ を満たす整数解が一つのみのときを考える。

$m = -1$ のとき、$-\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} < x < 2, -1 < x < -2$

$\frac{1}{2} < x < 2$ となり、$x = 1$ が唯一の整数解となる。

$m=-2$ のとき $1 < x < 2$となり整数解を持たない。

条件を満たす整数解が一つのみのとき、$m < x < 2$かつ$-\frac{m}{2} < x < 2m$

$m < x < 2$より、$x$は整数なので$x=1$しかありえない。

$m < 1$ かつ $-\frac{m}{2} < 1$ かつ $2m > 1$

$m < 1$ かつ $m > -2$ かつ $m > \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < m < 1$

$m = 1$ の時、 $1 < x < 2$ となり整数解を持たない。

$m=-1$の時、$-1 < x < 2$、$\frac{1}{2} < x < -2$ 解なし

$-\frac{m}{2} < x < 2$の時、 $m < x < 2m$を満たす整数解が一つ。

$-1/2$

$m=2, x=1$, $-\frac{m}{2}=-1$, $2m=4$

$2 < 1 <4$を満たさない

$-\frac{m}{2} < x < 2$と $m < x < 2m$

$-\frac{m}{2} < x < 2$が整数解を一つのみ持つ時、$x = 1$ である必要がある。

$m=1$, $2x^2-3x-2 < 0$, $(2x+1)(x-2) < 0$, $1/2 < x < 2$, $x=1$, $1 < x < 2$, $x=0$

$\frac{1}{2} < x < 2, -1 < x < -2$, $m= -0.6 < 2m$, $m=1 <2m$, $-0.5 * 3 = 1.5 \text{ 1 } \not < 1$

$(-1/3)$

-4<2m,

3. 最終的な答え

$m$ の値の範囲：$\frac{1}{2} < m < 1$

そのときの整数解：$x = 1$