与えられた分数の分母を有理化し、「エ」、「オ」、「カキ」に当てはまる数を求める問題です。分数は $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}$ であり、有理化後の形は $\frac{\text{エ}\sqrt{5}+\text{オ}\sqrt{2}+\sqrt{70}}{\text{カキ}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、「エ」、「オ」、「カキ」に当てはまる数を求める問題です。分数は $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}$ であり、有理化後の形は $\frac{\text{エ}\sqrt{5}+\text{オ}\sqrt{2}+\sqrt{70}}{\text{カキ}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{7}$ と見て、$(\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})((\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7})}$

分母は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を使って計算できます。

$(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 - 7 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 - 7 = 2\sqrt{10}$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2\sqrt{10}}$

次に、分母の有理化のため、分子と分母に $\sqrt{10}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})\sqrt{10}}{2\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{20}+\sqrt{50}+\sqrt{70}}{20} = \frac{\sqrt{4\times5}+\sqrt{25\times2}+\sqrt{70}}{20} = \frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}+\sqrt{70}}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}+\sqrt{70}}{20}$

よって、「エ」は2、「オ」は5、「カキ」は20となります。

答え：

エ：2

オ：5

カキ：20