(1) $-1 < t < 1$ を満たす実数 $t$ が与えられている。点 $(1, 0)$ を $(1-t^2, -2t)$ に、点 $(1, 1)$ を $(1+2t-t^2, 1-2t-t^2)$ に移す移動を表す行列 $A$ を求める。 (2) 点 $(\frac{3}{4}, -1)$ を $(1, 0)$ に、点 $(\frac{7}{4}, -\frac{1}{4})$ を $(1, 1)$ に移す移動を表す行列 $B$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $-1 < t < 1$ を満たす実数 $t$ が与えられている。点 $(1, 0)$ を $(1-t^2, -2t)$ に、点 $(1, 1)$ を $(1+2t-t^2, 1-2t-t^2)$ に移す移動を表す行列 $A$ を求める。

(2) 点 $(\frac{3}{4}, -1)$ を $(1, 0)$ に、点 $(\frac{7}{4}, -\frac{1}{4})$ を $(1, 1)$ に移す移動を表す行列 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ を $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおく。この行列は、$(1, 0)$ を $(1-t^2, -2t)$ に、$(1, 1)$ を $(1+2t-t^2, 1-2t-t^2)$ に移すので、以下の式が成り立つ。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-t^2 \\ -2t \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2t-t^2 \\ 1-2t-t^2 \end{pmatrix}$

これらの式から、

$a = 1-t^2$

$c = -2t$

$a+b = 1+2t-t^2$

$c+d = 1-2t-t^2$

$a = 1-t^2$ なので、$b = (1+2t-t^2) - (1-t^2) = 2t$

$c = -2t$ なので、$d = (1-2t-t^2) - (-2t) = 1-t^2$

よって、行列 $A$ は $\begin{pmatrix} 1-t^2 & 2t \\ -2t & 1-t^2 \end{pmatrix}$ となる。

(2) 行列 $B$ を $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおく。この行列は、$(\frac{3}{4}, -1)$ を $(1, 0)$ に、$(\frac{7}{4}, -\frac{1}{4})$ を $(1, 1)$ に移すので、以下の式が成り立つ。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{7}{4} \\ -\frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これらの式から、

$\frac{3}{4}a - b = 1$

$\frac{3}{4}c - d = 0$

$\frac{7}{4}a - \frac{1}{4}b = 1$

$\frac{7}{4}c - \frac{1}{4}d = 1$

最初の二つの式と最後の二つの式は、それぞれ連立方程式をなしている。最初の連立方程式を解くと、

$3a - 4b = 4$

$7a - b = 4$

$b = 7a - 4$ より、

$3a - 4(7a - 4) = 4$

$3a - 28a + 16 = 4$

$-25a = -12$

$a = \frac{12}{25}$

$b = 7(\frac{12}{25}) - 4 = \frac{84}{25} - \frac{100}{25} = -\frac{16}{25}$

同様に、後の連立方程式を解くと、

$3c - 4d = 0$

$7c - d = 4$

$d = 7c - 4$ より、

$3c - 4(7c - 4) = 0$

$3c - 28c + 16 = 0$

$-25c = -16$

$c = \frac{16}{25}$

$d = 7(\frac{16}{25}) - 4 = \frac{112}{25} - \frac{100}{25} = \frac{12}{25}$

よって、行列 $B$ は $\begin{pmatrix} \frac{12}{25} & -\frac{16}{25} \\ \frac{16}{25} & \frac{12}{25} \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 1-t^2 & 2t \\ -2t & 1-t^2 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} \frac{12}{25} & -\frac{16}{25} \\ \frac{16}{25} & \frac{12}{25} \end{pmatrix}$