次の2つの不等式を解きます。 (1) $\log_4(x+3) \ge \frac{1}{2}$ (2) $\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > 3$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を解きます。

(1) $\log_4(x+3) \ge \frac{1}{2}$

(2) $\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > 3$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4(x+3) \ge \frac{1}{2}$

まず、真数条件より $x+3>0$、つまり $x>-3$ が必要です。

$\log_4(x+3) \ge \log_4 4^{\frac{1}{2}}$ と変形します。

$\log_4(x+3) \ge \log_4 2$

底が4で1より大きいので、真数部分の大小関係は不等号の向きを変えずに

$x+3 \ge 2$

$x \ge -1$

真数条件 $x>-3$ と $x \ge -1$ より、$x \ge -1$

(2) $\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > 3$

まず、真数条件より $x-2>0$、つまり $x>2$ が必要です。

$\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^3$ と変形します。

$\log_{\frac{1}{2}}(x-2) > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$

底が$\frac{1}{2}$で1より小さいので、真数部分の大小関係は不等号の向きを変えて

$x-2 < \frac{1}{8}$

$x < \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8}$

真数条件 $x>2$ と $x < \frac{17}{8}$ より、$2 < x < \frac{17}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $x \ge -1$

(2) $2 < x < \frac{17}{8}$