与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -7 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -7 & 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $(A + B)C$ を求める。 (2) $D$ の逆行列が存在するかどうかを判定し、存在する場合は逆行列を求める。 (3) $DAC + DBC$ を求める。

以下に、問題1の(1), (2), (3)の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -7 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -7 & 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $(A + B)C$ を求める。

(2) $D$ の逆行列が存在するかどうかを判定し、存在する場合は逆行列を求める。

(3) $DAC + DBC$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(A + B)C$ を求める。

まず、$A + B$ を計算する。

$A + B = \begin{pmatrix} -7 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$

次に、$(A + B)C$ を計算する。

$(A + B)C = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 - 12 & 0 + 6 \\ -4 - 10 & 0 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17 & 6 \\ -14 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $D$ の逆行列が存在するかどうかを判定し、存在する場合は逆行列を求める。

$D = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ の行列式 $\det(D)$ を計算する。

$\det(D) = (-5)(5) - (6)(-4) = -25 + 24 = -1$

$\det(D) \neq 0$ なので、逆行列は存在する。

逆行列 $D^{-1}$ は、以下の式で計算できる。

$D^{-1} = \frac{1}{\det(D)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

$D^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$

(3) $DAC + DBC$ を求める。

$DAC + DBC = (DA + DB)C = D(A + B)C$

(1)で $(A + B)C = \begin{pmatrix} -17 & 6 \\ -14 & 5 \end{pmatrix}$ であるので

$D(A + B)C = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -17 & 6 \\ -14 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(-17) + (6)(-14) & (-5)(6) + (6)(5) \\ (-4)(-17) + (5)(-14) & (-4)(6) + (5)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 85 - 84 & -30 + 30 \\ 68 - 70 & -24 + 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $(A + B)C = \begin{pmatrix} -17 & 6 \\ -14 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $D$ の逆行列は存在する。$D^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$

(3) $DAC + DBC = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$