2次方程式 $x^2 - 3x - 5m + 22 = 0$ の1つの解が他の解の2倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x - 5m + 22 = 0$ の1つの解が他の解の2倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$、 $2\alpha$ とおく。解と係数の関係より、

$$\alpha + 2\alpha = 3$$

$$\alpha \cdot 2\alpha = -5m + 22$$

一つ目の式から、

$$3\alpha = 3$$

$$\alpha = 1$$

二つ目の式に代入して、

$$2\alpha^2 = -5m + 22$$

$$2(1)^2 = -5m + 22$$

$$2 = -5m + 22$$

$$5m = 20$$

$$m = 4$$

したがって、2次方程式は

$$x^2 - 3x - 5(4) + 22 = 0$$

$$x^2 - 3x - 20 + 22 = 0$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$(x-1)(x-2) = 0$$

よって、$x = 1, 2$。これは、$\alpha=1$、 $2\alpha = 2$に対応している。

3. 最終的な答え

$m = 4$

2つの解は $x = 1, 2$