$x$ についての3次方程式 $x^3 - ax^2 + 2ax - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を、実数 $a$ の値の範囲で分類して調べる。

1. 問題の内容

$x$ についての3次方程式 $x^3 - ax^2 + 2ax - 8 = 0$ の異なる実数解の個数を、実数 $a$ の値の範囲で分類して調べる。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = x^3 - ax^2 + 2ax - 8 = 0$ とする。

$x=2$ を代入すると、

$f(2) = 2^3 - a(2^2) + 2a(2) - 8 = 8 - 4a + 4a - 8 = 0$ となり、 $x=2$ は常に解である。

したがって、$f(x)$ は $(x-2)$ で割り切れる。実際に割ると、

$f(x) = (x-2)(x^2 + (2-a)x + 4) = 0$ となる。

よって、$x=2$ と $x^2 + (2-a)x + 4 = 0$ を満たす $x$ が解となる。

$g(x) = x^2 + (2-a)x + 4$ とおく。

$g(x)=0$ の判別式を $D$ とすると、$D = (2-a)^2 - 4(1)(4) = a^2 - 4a + 4 - 16 = a^2 - 4a - 12 = (a-6)(a+2)$ となる。

(i) $D > 0$ のとき、すなわち $(a-6)(a+2) > 0$ のとき、 $a < -2$ または $a > 6$ のとき、

$g(x) = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。

$g(2) = 2^2 + (2-a)2 + 4 = 4 + 4 - 2a + 4 = 12 - 2a = 0$ より、 $a=6$ のとき、$x=2$ が解となる。

よって、$a < -2$ のとき、 $x=2$ は $g(x) = 0$ の解ではないので、異なる実数解は3個。

$a > 6$ のとき、$x=2$ は $g(x) = 0$ の解ではないので、異なる実数解は3個。

(ii) $D = 0$ のとき、すなわち $(a-6)(a+2) = 0$ のとき、 $a = -2$ または $a = 6$ のとき、

$g(x) = 0$ は重解を持つ。

$a=-2$ のとき、$g(x) = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = 0$ より、$x=-2$。異なる実数解は2個 ($x=2, -2$)

$a=6$ のとき、$g(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ より、$x=2$。異なる実数解は1個 ($x=2$)

(iii) $D < 0$ のとき、すなわち $(a-6)(a+2) < 0$ のとき、 $-2 < a < 6$ のとき、

$g(x) = 0$ は実数解を持たない。

したがって、異なる実数解は1個 ($x=2$)

3. 最終的な答え

$a < -2$ または $a > 6$ のとき、異なる実数解は3個。

$a = -2$ のとき、異なる実数解は2個。

$a = 6$ のとき、異なる実数解は1個。

$-2 < a < 6$ のとき、異なる実数解は1個。