与えられた方程式 $9 - x = \sqrt{x+1} + 4\sqrt{4-x}$ を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $9 - x = \sqrt{x+1} + 4\sqrt{4-x}$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の定義域を考えます。根号の中身は非負である必要があるため、$x+1 \ge 0$ かつ $4-x \ge 0$ である必要があります。

よって、$x \ge -1$ かつ $x \le 4$ となります。したがって、$-1 \le x \le 4$ です。

ここで、$x=3$ を代入してみると、

$9 - 3 = \sqrt{3+1} + 4\sqrt{4-3}$

$6 = \sqrt{4} + 4\sqrt{1}$

$6 = 2 + 4$

$6 = 6$

となり、これは正しいです。したがって、$x=3$ は解の一つです。

次に、方程式を変形し、両辺を2乗することを考えます。

$9 - x = \sqrt{x+1} + 4\sqrt{4-x}$

$(9-x)^2 = (\sqrt{x+1} + 4\sqrt{4-x})^2$

$81 - 18x + x^2 = (x+1) + 8\sqrt{(x+1)(4-x)} + 16(4-x)$

$81 - 18x + x^2 = x + 1 + 8\sqrt{-x^2+3x+4} + 64 - 16x$

$x^2 - 18x + 81 = -15x + 65 + 8\sqrt{-x^2+3x+4}$

$x^2 - 3x + 16 = 8\sqrt{-x^2+3x+4}$

ここで、$y = -x^2+3x+4$ とおくと、$x^2 - 3x = -y + 4$ であるから、$x^2 - 3x + 16 = -y + 4 + 16 = -y + 20$ となります。

したがって、$-y + 20 = 8\sqrt{y}$

両辺を2乗すると、

$y^2 - 40y + 400 = 64y$

$y^2 - 104y + 400 = 0$

$(y-4)(y-100) = 0$

$y = 4$ または $y = 100$

$y = 4$ のとき、$-x^2+3x+4 = 4$ より、$-x^2 + 3x = 0$ なので、$x(3-x) = 0$。よって、$x = 0$ または $x = 3$。

$x = 0$ のとき、$9 - 0 = \sqrt{0+1} + 4\sqrt{4-0}$ より、$9 = 1 + 4(2) = 9$ となり、これは正しいです。

$x = 3$ のとき、これは最初に求めた解なので、正しいです。

$y = 100$ のとき、$-x^2+3x+4 = 100$ より、$-x^2 + 3x - 96 = 0$。$x^2 - 3x + 96 = 0$。

判別式 $D = (-3)^2 - 4(1)(96) = 9 - 384 = -375 < 0$ となり、実数解を持ちません。

したがって、解は $x = 0$ または $x = 3$ です。

3. 最終的な答え

x = 0, 3