方程式 $9-x = \sqrt{x+1+4\sqrt{4-x}}$ を解きます。

## 問題 (2) の解答

1. 問題の内容

方程式 $9-x = \sqrt{x+1+4\sqrt{4-x}}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号を外すために両辺を2乗します。

$(9-x)^2 = (\sqrt{x+1+4\sqrt{4-x}})^2$

$81 - 18x + x^2 = x + 1 + 4\sqrt{4-x}$

$x^2 - 19x + 80 = 4\sqrt{4-x}$

もう一度根号を外すために両辺を2乗します。

$(x^2 - 19x + 80)^2 = (4\sqrt{4-x})^2$

$(x^2 - 19x + 80)^2 = 16(4-x)$

$x^4 - 38x^3 + 521x^2 - 2976x + 6400 = 64 - 16x$

$x^4 - 38x^3 + 521x^2 - 2960x + 6336 = 0$

この4次方程式を解くのは難しいので、元の式に戻って、少し観察します。

$9-x = \sqrt{x+1+4\sqrt{4-x}}$ であり、$x \le 4$ である必要があります。また、$9-x \ge 0$ より、$x \le 9$ でもあります。

$x=0$ を代入すると、$9 = \sqrt{1+4\sqrt{4}} = \sqrt{1+8} = \sqrt{9} = 3$ となり、成り立ちません。

$x=3$ を代入すると、$9-3 = 6$ であり、$\sqrt{3+1+4\sqrt{4-3}} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となり、成り立ちません。

$x=4$ を代入すると、$9-4=5$ であり、$\sqrt{4+1+4\sqrt{4-4}} = \sqrt{5+0} = \sqrt{5}$ となり、成り立ちません。

$x=5$を代入すると、$9-5 = 4$ であり、$\sqrt{5+1+4\sqrt{4-5}}$ となり、$\sqrt{4-5}$ が存在しないので不適です。

$x=8$を代入すると、$9-8 = 1$ であり、$\sqrt{8+1+4\sqrt{4-8}}$ となり、$\sqrt{4-8}$ が存在しないので不適です。

ここで、$4-x$ が平方数になるように $x$ を選びます。

$4-x = 0$ のとき、$x=4$ であり、$9-4=5$ であり、$\sqrt{4+1+4\sqrt{0}} = \sqrt{5}$ となり、成り立ちません。

$4-x = 1$ のとき、$x=3$ であり、$9-3=6$ であり、$\sqrt{3+1+4\sqrt{1}} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となり、成り立ちません。

$4-x = 4$ のとき、$x=0$ であり、$9-0=9$ であり、$\sqrt{0+1+4\sqrt{4}} = \sqrt{1+4(2)} = \sqrt{9} = 3$ となり、成り立ちません。

試しに、$x = -5$ を代入します。

$9-(-5) = 14$ であり、$\sqrt{-5+1+4\sqrt{4-(-5)}} = \sqrt{-4+4\sqrt{9}} = \sqrt{-4+12} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$となり成り立ちません。

$9-x = \sqrt{x+1+4\sqrt{4-x}}$ を $x = 3$ 付近で考えると、$f(x) = 9-x$ と $g(x) = \sqrt{x+1+4\sqrt{4-x}}$ はそれぞれ減少関数であるため、交点が1つしかない可能性があります。

しかし、$x=3$ 付近では、$f(x)$ の減少率と $g(x)$ の減少率は異なっており、計算も複雑なため、解析的に解くのは難しいです。

解がないと判断します。

3. 最終的な答え

解なし

## 問題 (3) の解答

1. 問題の内容

不等式 $2\sqrt{\sqrt{16-x}-3} < x+2$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が正または0である必要があります。

$\sqrt{16-x} - 3 \ge 0$

$\sqrt{16-x} \ge 3$

$16-x \ge 9$

$x \le 7$

また、$16-x \ge 0$ なので、$x \le 16$

したがって、$x \le 7$

さらに、$x+2 > 0$ より、$x > -2$

したがって、$-2 < x \le 7$

次に、不等式の両辺を2乗します。

$(2\sqrt{\sqrt{16-x}-3})^2 < (x+2)^2$

$4(\sqrt{16-x}-3) < x^2 + 4x + 4$

$4\sqrt{16-x} - 12 < x^2 + 4x + 4$

$4\sqrt{16-x} < x^2 + 4x + 16$

両辺を2乗します。

$16(16-x) < (x^2+4x+16)^2$

$256 - 16x < x^4 + 8x^3 + 48x^2 + 128x + 256$

$0 < x^4 + 8x^3 + 48x^2 + 144x$

$0 < x(x^3 + 8x^2 + 48x + 144)$

$x > -2$ の範囲で考えると、$x=0$ を代入すると、$0 < 0$ なので成り立ちません。

$x(x^3+8x^2+48x+144) > 0$

$f(x) = x^3 + 8x^2 + 48x + 144$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 + 16x + 48$

$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 256 - 576 = -320 < 0$ なので、$f'(x) > 0$ であり、$f(x)$ は単調増加。

$f(-4) = -64 + 8(16) - 48(4) + 144 = -64+128-192+144 = 16$

$f(-5) = -125+200-240+144 = -21 <0$

したがって、$f(x) = 0$ となる実数解は $-5$ と $-4$ の間にある。

$x>-2$ の範囲では、$x^3 + 8x^2 + 48x + 144 > 0$ なので、$x > 0$

したがって、$0 < x \le 7$

3. 最終的な答え

$0 < x \le 7$