与えられた方程式の自然数解を全て求める問題です。 (1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$ (2) $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

与えられた方程式の自然数解を全て求める問題です。

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$

(2) $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$ を解く。

まず、両辺に $7xy$ を掛けて分母を払う。

$7y + 7x = xy$

$xy - 7x - 7y = 0$

$xy - 7x - 7y + 49 = 49$

$(x-7)(y-7) = 49$

$x, y$ は自然数なので、$x-7, y-7$ は整数である。

49の約数は、1, 7, 49である。

したがって、以下の組み合わせが考えられる。

$x-7 = 1, y-7 = 49$ のとき、$x = 8, y = 56$

$x-7 = 7, y-7 = 7$ のとき、$x = 14, y = 14$

$x-7 = 49, y-7 = 1$ のとき、$x = 56, y = 8$

(2) $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = \frac{1}{2}$ を解く。

両辺に $2xy$ を掛けて分母を払う。

$6y - 4x = xy$

$xy + 4x - 6y = 0$

$xy + 4x - 6y - 24 = -24$

$(x - 6)(y + 4) = -24$

$x$ は自然数なので $x > 0$ であり、$x-6 > -6$

$y$ は自然数なので $y + 4 > 4$ である。

$x-6$ は -24 の約数である。また，$x-6 > -6$ なので、$x-6$ の候補は -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 である。

$y + 4 = \frac{-24}{x-6}$ であり、$y+4 > 4$ でなくてはならない。つまり$\frac{-24}{x-6} > 4$となる必要がある。したがって、$x-6$ は負の数でなければならない。

$x-6 = -3$ のとき $x = 3, y+4 = 8, y = 4$

$x-6 = -2$ のとき $x = 4, y+4 = 12, y = 8$

$x-6 = -1$ のとき $x = 5, y+4 = 24, y = 20$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (8, 56), (14, 14), (56, 8)$

(2) $(x, y) = (3, 4), (4, 8), (5, 20)$