与えられた6つの数式を計算する問題です。それぞれの式は、根号を含む加減乗除、平方、および立方で構成されています。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた6つの数式を計算する問題です。それぞれの式は、根号を含む加減乗除、平方、および立方で構成されています。

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下のように計算を進めます。

(1) $\sqrt{27}-5\sqrt{50}+3\sqrt{8}-4\sqrt{75}$

まず、根号の中を素因数分解して簡単にします。

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 5^2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 5^2} = 5\sqrt{3}$

これらを元の式に代入すると、

$3\sqrt{3} - 5(5\sqrt{2}) + 3(2\sqrt{2}) - 4(5\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 25\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 20\sqrt{3} = (3-20)\sqrt{3} + (-25+6)\sqrt{2} = -17\sqrt{3} - 19\sqrt{2}$

(2) $(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})$

これは和と差の積の形なので、$a^2 - b^2$の公式を使います。

$(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3 = 8$

(3) $(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2$

これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を使います。

$(2\sqrt{2}-\sqrt{27})^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(\sqrt{27}) + (\sqrt{27})^2 = 4 \cdot 2 - 4\sqrt{54} + 27 = 8 - 4\sqrt{9 \cdot 6} + 27 = 35 - 4 \cdot 3 \sqrt{6} = 35 - 12\sqrt{6}$

(4) $(3+4\sqrt{2})(2-5\sqrt{2})$

分配法則を使って展開します。

$(3+4\sqrt{2})(2-5\sqrt{2}) = 3(2) + 3(-5\sqrt{2}) + 4\sqrt{2}(2) + 4\sqrt{2}(-5\sqrt{2}) = 6 - 15\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 20 \cdot 2 = 6 - 7\sqrt{2} - 40 = -34 - 7\sqrt{2}$

(5) $(\sqrt{10}-2\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{10})$

分配法則を使って展開します。

$(\sqrt{10}-2\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{10}) = \sqrt{10}\sqrt{5} + (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{5} - 2\sqrt{5}\sqrt{10} = \sqrt{50} + 10 - 2 \cdot 5 - 2\sqrt{50} = 5\sqrt{2} + 10 - 10 - 2 \cdot 5\sqrt{2} = -5\sqrt{2}$

(6) $(1+\sqrt{3})^3$

$(1+\sqrt{3})^3 = (1+\sqrt{3})^2 (1+\sqrt{3}) = (1+2\sqrt{3}+3)(1+\sqrt{3}) = (4+2\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2 \cdot 3 = 4 + 6\sqrt{3} + 6 = 10 + 6\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-17\sqrt{3} - 19\sqrt{2}$

(2) $8$

(3) $35 - 12\sqrt{6}$

(4) $-34 - 7\sqrt{2}$

(5) $-5\sqrt{2}$

(6) $10 + 6\sqrt{3}$