$60 \times \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ を求める。

1. 問題の内容

$60 \times \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ を有理化します。

分子と分母に $2 + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

したがって、$60 \times \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 60 \times (2 + \sqrt{3}) = 120 + 60\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値は $1.732$ であるので、$60\sqrt{3} \approx 60 \times 1.732 = 103.92$

$120 + 60\sqrt{3} \approx 120 + 103.92 = 223.92$

整数部分は $223$ である。

したがって、$a = 223$

$b$ は小数部分なので、

$b = (120 + 60\sqrt{3}) - a = 120 + 60\sqrt{3} - 223 = 60\sqrt{3} - 103$

3. 最終的な答え

$a = 223$

$b = 60\sqrt{3} - 103$