与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ と $y$ の二次式と見て、因数分解できる形を考える。

$2x^2 + 3xy - 2y^2$ の部分を因数分解すると、$(2x - y)(x + 2y)$ となる。

よって、与えられた式は $(2x - y + A)(x + 2y + B)$ の形に因数分解できると予想できる。ここで $A$ と $B$ は定数である。

$(2x - y + A)(x + 2y + B)$ を展開すると、

$2x^2 + 4xy + 2Bx - xy - 2y^2 - By + Ax + 2Ay + AB$

$= 2x^2 + 3xy - 2y^2 + (2B + A)x + (2A - B)y + AB$

与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ と比較すると、

$2B + A = -5$

$2A - B = -5$

$AB = 3$

これらの連立方程式を解く。

$2B + A = -5$ より、 $A = -5 - 2B$

これを $2A - B = -5$ に代入すると、

$2(-5 - 2B) - B = -5$

$-10 - 4B - B = -5$

$-5B = 5$

$B = -1$

$A = -5 - 2(-1) = -5 + 2 = -3$

よって、$A = -3$, $B = -1$

このとき、$AB = (-3)(-1) = 3$ となり、条件を満たす。

したがって、与えられた式は $(2x - y - 3)(x + 2y - 1)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(2x - y - 3)(x + 2y - 1)$