全体集合を実数全体とし、その部分集合 $A = \{2, 4, a^2+1\}$、 $B = \{4, a+7, a^2-4a+5\}$ が与えられています。$A \cap \overline{B} = \{2, 5\}$ となるように定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

全体集合を実数全体とし、その部分集合 $A = \{2, 4, a^2+1\}$、 $B = \{4, a+7, a^2-4a+5\}$ が与えられています。$A \cap \overline{B} = \{2, 5\}$ となるように定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$A \cap \overline{B} = \{2, 5\}$ ということは、$A$ の要素のうち $B$ に含まれないものが $2$ と $5$ であるということです。また、$A$ の要素 $4$ は $B$ にも含まれています。

まず、$A$ の要素に注目すると、$A = \{2, 4, a^2+1\}$ なので、$a^2 + 1$ が $5$ である可能性があります。

$a^2 + 1 = 5$ のとき、$a^2 = 4$ となり、$a = \pm 2$ となります。

(i) $a=2$ の場合:

$A = \{2, 4, 5\}$

$B = \{4, 9, 1\}$

このとき、$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 5\} \cap \overline{\{4, 9, 1\}} = \{2, 5\}$.

これは与えられた条件を満たします。

(ii) $a=-2$ の場合:

$A = \{2, 4, 5\}$

$B = \{4, 5, 17\}$

このとき、$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 5\} \cap \overline{\{4, 5, 17\}} = \{2\}$.

これは与えられた条件を満たしません。

したがって、$a = 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$