数列 $1, 1+5, 1+5+9, \dots, 1+5+9+\dots+(4n-3)$ の第k項 $a_k$ と、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+5, 1+5+9, \dots, 1+5+9+\dots+(4n-3)$ の第k項 $a_k$ と、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、第k項 $a_k$ を求める。$a_k$ は、初項が1、公差が4の等差数列の初項から第k項までの和である。等差数列の和の公式を用いると、

$a_k = \sum_{i=1}^{k} (4i-3) = 1+5+9+\dots+(4k-3)$

等差数列の和の公式より

$a_k = \frac{k}{2} [2\times1 + (k-1) \times 4] = \frac{k}{2}(2 + 4k - 4) = \frac{k}{2}(4k-2) = k(2k-1) = 2k^2 - k$

次に、初項から第n項までの和 $S_n$ を求める。$S_n$ は、$a_k$ のk=1からnまでの和である。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって

$S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k = 2 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)[2(2n+1) - 3]}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$a_k = 2k^2 - k$

$S_n = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$