与えられた数列の第 $n$ 項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。 (1), (2), (3) の3つの数列についてそれぞれ求めます。 ここでは、(2)の問題を解きます。数列は $1, 1+4, 1+4+7, 1+4+7+10, 1+4+7+10+13, \dots$ です。

1. 問題の内容

与えられた数列の第 $n$ 項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

(1), (2), (3) の3つの数列についてそれぞれ求めます。

ここでは、(2)の問題を解きます。数列は $1, 1+4, 1+4+7, 1+4+7+10, 1+4+7+10+13, \dots$ です。

2. 解き方の手順

まず、第 $n$ 項 $a_n$ を求めます。

第 $n$ 項は、$1 + 4 + 7 + \dots + (3n-2)$ となります。

これは初項が 1、公差が 3 の等差数列の和なので、等差数列の和の公式を用いて計算します。

等差数列の和の公式は、

$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

です。

この場合、$a_1 = 1$、$a_n = 3n - 2$ なので、

$a_n = \frac{n}{2}(1 + (3n - 2)) = \frac{n(3n - 1)}{2} = \frac{3n^2 - n}{2}$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3k^2 - k}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

を用いると、

$S_n = \frac{1}{2} (3\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k) = \frac{1}{2} (3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2}) = \frac{1}{4} n(n+1)(2n+1-1) = \frac{1}{4} n(n+1)(2n)$

$= \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3+n^2}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - n}{2}$

$S_n = \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3+n^2}{2}$