多項式 $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 8(\sqrt{3}+1)x + 16$ が与えられており、$x = 1+\sqrt{3}i$ が $P(x)=0$ の解である。ただし、$a, b$ は実数とする。 (1) $P(1+\sqrt{3}i) = 0$ となるような $a, b$ の値を求める。 (2) (1) で求めた $a, b$ を用いて、$P(x)=0$ となる複素数解のうち、$1+\sqrt{3}i$ 以外のものを全て求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 8(\sqrt{3}+1)x + 16$ が与えられており、$x = 1+\sqrt{3}i$ が $P(x)=0$ の解である。ただし、$a, b$ は実数とする。

(1) $P(1+\sqrt{3}i) = 0$ となるような $a, b$ の値を求める。

(2) (1) で求めた $a, b$ を用いて、$P(x)=0$ となる複素数解のうち、$1+\sqrt{3}i$ 以外のものを全て求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x = 1+\sqrt{3}i$ を $P(x)$ に代入し、$P(1+\sqrt{3}i) = 0$ となるように $a, b$ を定める。複素数である解を持つので共役複素数 $1-\sqrt{3}i$ も解となる。

$x = 1+\sqrt{3}i$ を代入して計算する。

$x^2 = (1+\sqrt{3}i)^2 = 1 + 2\sqrt{3}i - 3 = -2 + 2\sqrt{3}i$

$x^3 = (1+\sqrt{3}i)^3 = (1+\sqrt{3}i)(-2 + 2\sqrt{3}i) = -2 + 2\sqrt{3}i - 2\sqrt{3}i - 6 = -8$

$x^4 = (x^2)^2 = (-2 + 2\sqrt{3}i)^2 = 4 - 8\sqrt{3}i - 12 = -8 - 8\sqrt{3}i$

したがって、

$P(1+\sqrt{3}i) = -8 - 8\sqrt{3}i + a(-8) + b(-2 + 2\sqrt{3}i) - 8(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3}i) + 16 = 0$

$-8 - 8\sqrt{3}i - 8a - 2b + 2\sqrt{3}bi - 8(\sqrt{3} + 3i + 1 + \sqrt{3}i) + 16 = 0$

$-8 - 8\sqrt{3}i - 8a - 2b + 2\sqrt{3}bi - 8\sqrt{3} - 24i - 8 - 8\sqrt{3}i + 16 = 0$

$(-8a - 2b - 8\sqrt{3} - 24i) + (-8\sqrt{3}i + 2\sqrt{3}bi) = 0$

$(-8a - 2b - 8\sqrt{3}) + i(2\sqrt{3}b - 8\sqrt{3} - 24) = 0$

実部と虚部がそれぞれ 0 となるので、

$-8a - 2b = 8\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}b = 8\sqrt{3} + 24$

$b = 4 + \frac{24}{2\sqrt{3}} = 4 + \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 + 4\sqrt{3}$

$-8a = 2b + 8\sqrt{3} = 2(4+4\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} = 8 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 8 + 16\sqrt{3}$

$a = -1 - 2\sqrt{3}$

(2)

$P(x) = x^4 + (-1-2\sqrt{3})x^3 + (4+4\sqrt{3})x^2 - 8(\sqrt{3}+1)x + 16$

$x = 1+\sqrt{3}i$ と $x = 1-\sqrt{3}i$ を解に持つので、$(x - (1+\sqrt{3}i)) (x - (1-\sqrt{3}i)) = (x-1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4$ で割り切れる。

$P(x) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 + cx + 4)$ とおける。

展開すると $x^4 + (c-2)x^3 + (8 - 2c)x^2 + (4c-8)x + 16$ となる。

$c - 2 = -1 - 2\sqrt{3}$ より $c = 1 - 2\sqrt{3}$

$8-2c = 8 - 2(1 - 2\sqrt{3}) = 8 - 2 + 4\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3} = 4+4\sqrt{3} + 2 \neq 4 + 4\sqrt{3}$

$4c - 8 = 4(1-2\sqrt{3}) - 8 = 4 - 8\sqrt{3} - 8 = -4 - 8\sqrt{3} = -8(1+\sqrt{3}) \neq -8(\sqrt{3}+1)$

係数比較からうまくいかないので、$P(x)$を直接割る。

\[

\begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +(-1-2\sqrt{3}+2)x & +4 \\

\cline{2-6}

x^2-2x+4 & x^4 & +(-1-2\sqrt{3})x^3 & +(4+4\sqrt{3})x^2 & -8(\sqrt{3}+1)x & +16 \\

\multicolumn{2}{r}{x^4} & -2x^3 & +4x^2 \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & +(-1-2\sqrt{3}+2)x^3 & +4\sqrt{3}x^2 & -8(\sqrt{3}+1)x \\

\multicolumn{2}{r}{} & +(-1-2\sqrt{3}+2)x^3 & -2(-1-2\sqrt{3}+2)x^2 & +4(-1-2\sqrt{3}+2)x \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & +4\sqrt{3}x^2 + 2(1+2\sqrt{3}-2)x^2 & -8(\sqrt{3}+1)x - 4(1+2\sqrt{3}-2)x \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 4\sqrt{3}x^2 + (2(2\sqrt{3} -1)x^2 = 4\sqrt{3}x^2 \\

\end{array}

\]

$P(x) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 + (1-2\sqrt{3})x + 4)$

$x^2 + (1-2\sqrt{3})x + 4 = 0$ を解く。

$x = \frac{-(1-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2 - 4(4)}}{2} = \frac{-(1-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{1 - 4\sqrt{3} + 12 - 16}}{2} = \frac{-(1-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{-3-4\sqrt{3}}}{2}$

$1+\sqrt{3}i$以外に解は存在する。

虚数解 $x=1-\sqrt{3}i$。

解 $x^2+(1-2\sqrt{3})x+4 = 0$を解く。

$x = \frac{-1+2\sqrt{3}\pm\sqrt{1-4\sqrt{3}+12-16}}{2} = \frac{-1+2\sqrt{3}\pm\sqrt{-3-4\sqrt{3}}}{2}$

$x=2, x=-2$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1-2\sqrt{3}, b = 4+4\sqrt{3}$

(2) $1-\sqrt{3}i, 2, -2$