関数 $y = f(x) = -x^2 + (2a+1)x + 5$ の区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$の値によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = -x^2 + (2a+1)x + 5$ の区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - (2a+1)x) + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a+1}{2}\right)^2 + \left(\frac{2a+1}{2}\right)^2 + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a+1}{2}\right)^2 + \frac{4a^2 + 4a + 1}{4} + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a+1}{2}\right)^2 + a^2 + a + \frac{1}{4} + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a+1}{2}\right)^2 + a^2 + a + \frac{21}{4}$

軸は $x = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}$ です。区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を考えます。

(i) $a+\frac{1}{2} < -2$ つまり $a < -\frac{5}{2}$ のとき、区間内で単調増加なので、

最大値 $f(-2) = -(-2)^2 + (2a+1)(-2) + 5 = -4 -4a - 2 + 5 = -4a - 1$

最小値 $f(3) = -3^2 + (2a+1)(3) + 5 = -9 + 6a + 3 + 5 = 6a - 1$

(ii) $-2 \le a+\frac{1}{2} \le 3$ つまり $-\frac{5}{2} \le a \le \frac{5}{2}$ のとき、頂点が区間内にあるので、

最大値 $f(a+\frac{1}{2}) = a^2 + a + \frac{21}{4}$

最小値は、$x=-2$ か $x=3$ のどちらか。

$f(-2) - f(3) = (-4a-1) - (6a-1) = -10a$

$a>0$ なら $f(-2) < f(3)$ なので $f(-2)$ が最小値

$a<0$ なら $f(-2) > f(3)$ なので $f(3)$ が最小値

$a=0$ なら $f(-2) = f(3) = -1$ が最小値

(a) $-\frac{5}{2} \le a < 0$ のとき、

最大値 $a^2 + a + \frac{21}{4}$

最小値 $6a - 1$

(b) $a = 0$ のとき、

最大値 $\frac{21}{4}$

最小値 $-1$

(c) $0 < a \le \frac{5}{2}$ のとき、

最大値 $a^2 + a + \frac{21}{4}$

最小値 $-4a - 1$

(iii) $a+\frac{1}{2} > 3$ つまり $a > \frac{5}{2}$ のとき、区間内で単調減少なので、

最大値 $f(3) = 6a - 1$

最小値 $f(-2) = -4a - 1$

まとめると、

$a < -\frac{5}{2}$ のとき：最大値 $-4a - 1$, 最小値 $6a - 1$

$-\frac{5}{2} \le a < 0$ のとき：最大値 $a^2 + a + \frac{21}{4}$, 最小値 $6a - 1$

$a = 0$ のとき：最大値 $\frac{21}{4}$, 最小値 $-1$

$0 < a \le \frac{5}{2}$ のとき：最大値 $a^2 + a + \frac{21}{4}$, 最小値 $-4a - 1$

$a > \frac{5}{2}$ のとき：最大値 $6a - 1$, 最小値 $-4a - 1$

3. 最終的な答え

| a の範囲 | 最大値 | 最小値 |

|-----------------|----------------------|----------------------|

| $a < -\frac{5}{2}$ | $-4a - 1$ | $6a - 1$ |

| $-\frac{5}{2} \le a < 0$ | $a^2 + a + \frac{21}{4}$ | $6a - 1$ |

| $a = 0$ | $\frac{21}{4}$ | $-1$ |

| $0 < a \le \frac{5}{2}$ | $a^2 + a + \frac{21}{4}$ | $-4a - 1$ |

| $a > \frac{5}{2}$ | $6a - 1$ | $-4a - 1$ |