はい、承知いたしました。与えられた複素数 $\alpha$ と $\beta$ について、$\alpha\beta$ および $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表す問題ですね。偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

はい、承知いたしました。与えられた複素数 $\alpha$ と $\beta$ について、$\alpha\beta$ および $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表す問題ですね。偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

**

1. 問題の内容**

複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられたとき、積 $\alpha\beta$ と商 $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表す。

**

2. 解き方の手順**

(1) $\alpha = 2\left(\cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi\right)$, $\beta = 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)$ の場合

複素数の積と商の公式を利用します。

$\alpha\beta = r_1r_2 \left[\cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2)\right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{r_1}{r_2} \left[\cos (\theta_1 - \theta_2) + i \sin (\theta_1 - \theta_2)\right]$

ここで、$\alpha = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$, $\beta = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ です。

まず、$\alpha\beta$ を計算します。

$\alpha\beta = 2 \cdot 4 \left[ \cos \left(\frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{6}\right) \right]$

$\alpha\beta = 8 \left[ \cos \left(\frac{4}{6}\pi + \frac{1}{6}\pi\right) + i \sin \left(\frac{4}{6}\pi + \frac{1}{6}\pi\right) \right]$

$\alpha\beta = 8 \left( \cos \frac{5}{6}\pi + i \sin \frac{5}{6}\pi \right)$

次に、$\frac{\alpha}{\beta}$ を計算します。

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{4} \left[ \cos \left(\frac{2}{3}\pi - \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{2}{3}\pi - \frac{\pi}{6}\right) \right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{2} \left[ \cos \left(\frac{4}{6}\pi - \frac{1}{6}\pi\right) + i \sin \left(\frac{4}{6}\pi - \frac{1}{6}\pi\right) \right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$

(2) $\alpha = 6 + 6i$, $\beta = \sqrt{3} + i$ の場合

$\alpha$ と $\beta$ を極形式で表します。

$\alpha = 6 + 6i = 6\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

$\beta = \sqrt{3} + i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

$\alpha\beta = (6\sqrt{2})(2) \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \right]$

$\alpha\beta = 12\sqrt{2} \left[ \cos \left(\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}\right) \right]$

$\alpha\beta = 12\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{6\sqrt{2}}{2} \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = 3\sqrt{2} \left[ \cos \left(\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12}\right) \right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)$

(3) $\alpha = -2 - 2\sqrt{3}i$, $\beta = -1 + i$ の場合

$\alpha$ と $\beta$ を極形式で表します。

$\alpha = -2 - 2\sqrt{3}i = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)$

$\beta = -1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$

$\alpha\beta = (4)(\sqrt{2}) \left[ \cos \left(\frac{4\pi}{3} + \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{4\pi}{3} + \frac{3\pi}{4}\right) \right]$

$\alpha\beta = 4\sqrt{2} \left[ \cos \left(\frac{16\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}\right) + i \sin \left(\frac{16\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}\right) \right]$

$\alpha\beta = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{25\pi}{12} + i \sin \frac{25\pi}{12} \right)$

$\frac{25\pi}{12} = 2\pi + \frac{\pi}{12}$ なので

$\alpha\beta = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{4}{\sqrt{2}} \left[ \cos \left(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}\right) \right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2} \left[ \cos \left(\frac{16\pi}{12} - \frac{9\pi}{12}\right) + i \sin \left(\frac{16\pi}{12} - \frac{9\pi}{12}\right) \right]$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right)$

**

3. 最終的な答え**

(1)

$\alpha\beta = 8\left(\cos \frac{5}{6}\pi + i \sin \frac{5}{6}\pi\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)$

(2)

$\alpha\beta = 12\sqrt{2}\left(\cos \frac{5}{12}\pi + i \sin \frac{5}{12}\pi\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 3\sqrt{2}\left(\cos \frac{1}{12}\pi + i \sin \frac{1}{12}\pi\right)$

(3)

$\alpha\beta = 4\sqrt{2}\left(\cos \frac{1}{12}\pi + i \sin \frac{1}{12}\pi\right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7}{12}\pi + i \sin \frac{7}{12}\pi\right)$