与えられた2次関数 $y = x^2 - 2kx + k$ について、以下の問いに答える。 (1) 最小値 $m$ を $k$ の式で表せ。 (2) $k$ の関数として $m$ の最大値と、そのときの $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 - 2kx + k$ について、以下の問いに答える。

(1) 最小値 $m$ を $k$ の式で表せ。

(2) $k$ の関数として $m$ の最大値と、そのときの $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2次関数 $y = x^2 - 2kx + k$ を平方完成する。

$y = (x - k)^2 - k^2 + k$

このグラフは下に凸の放物線であり、頂点の $y$ 座標が最小値 $m$ となる。

よって、$m = -k^2 + k$

(2)

$m = -k^2 + k$ は $k$ の2次関数である。

$m$ を最大にする $k$ の値を求めるために、再び平方完成する。

$m = -(k^2 - k) = -(k^2 - k + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} = -(k - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$

このグラフは上に凸の放物線であり、頂点の $y$ 座標が最大値となる。

したがって、$m$ の最大値は $\frac{1}{4}$ であり、そのときの $k$ の値は $\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = -k^2 + k$

(2) 最大値：$\frac{1}{4}$、$k = \frac{1}{2}$