$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 5$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問いに答えよ。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 5$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問いに答えよ。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ を平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 4 + 5$

$y = (x - 2)^2 + 1$

このグラフは、頂点が $(2, 1)$ の下に凸な放物線です。

定義域は $0 \le x \le a$ です。

(1) 最小値を求める。

場合分けをします。

(i) $a \le 2$ のとき、定義域内で $x=a$ で最小値をとります。

最小値は $y = a^2 - 4a + 5$ です。

(ii) $a > 2$ のとき、定義域内で $x=2$ で最小値をとります。

最小値は $y = 1$ です。

(2) 最大値を求める。

場合分けをします。

(i) $0 < a \le 4$ のとき、 $x=0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5$ です。

(ii) $a > 4$ のとき、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $y = a^2 - 4a + 5$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a \le 2$ のとき、 $a^2 - 4a + 5$

$a > 2$ のとき、 $1$

(2) 最大値

$0 < a \le 4$ のとき、 $5$

$a > 4$ のとき、 $a^2 - 4a + 5$