$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}+1}$

次に、$\frac{1}{x}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5}-1$ をかけます。

$\frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

最後に、$x + \frac{1}{x}$ を計算します。

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$