与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず $x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$ のように変形します。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$

ここで、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ は $(x^2 + y^2)^2$ となります。

よって、

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2$

これは、$a^2 - b^2$ の形と見なすことができ、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

この場合、$a = x^2 + y^2$ であり、$b^2 = 13x^2y^2$ なので、$b = \sqrt{13}xy$ となります。

したがって、

$(x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2 = (x^2 + y^2 + \sqrt{13}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{13}xy)$

ただし、問題文の意図を考慮すると、有理数の範囲での因数分解を求めている可能性があります。その場合は、

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 + ax y + y^2)(x^2 + bx y + y^2)$

とおいて、$a+b=0, ab + 2 = -11$となるような $a,b$を求めることを考えます。

$b = -a$より、$ab = -a^2 = -13$となり、$a = \sqrt{13}, b= -\sqrt{13}$となります。

有理数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x^2 + y^2 + \sqrt{13}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{13}xy)$

あるいは有理数の範囲では因数分解できない。