与えられた5つの数式を計算し、最も簡単な形で表現してください。 (1) $\frac{x+2}{x-1} \times \frac{x-1}{2x+1}$ (2) $\frac{x^2}{x-1} \times \frac{x^2-1}{x}$ (3) $\frac{2x}{x+5} \div \frac{x+2}{x+5}$ (4) $\frac{x}{x^2-2x+1} \div \frac{x^2+3x}{x-1}$ (5) $\frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3} \div \frac{x-5}{x+3}$

はい、承知いたしました。以下の問題について回答します。

1. 問題の内容

与えられた5つの数式を計算し、最も簡単な形で表現してください。

(1) $\frac{x+2}{x-1} \times \frac{x-1}{2x+1}$

(2) $\frac{x^2}{x-1} \times \frac{x^2-1}{x}$

(3) $\frac{2x}{x+5} \div \frac{x+2}{x+5}$

(4) $\frac{x}{x^2-2x+1} \div \frac{x^2+3x}{x-1}$

(5) $\frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3} \div \frac{x-5}{x+3}$

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $\frac{x+2}{x-1} \times \frac{x-1}{2x+1}$

分子と分母で$(x-1)$が共通なので約分できます。

$\frac{x+2}{x-1} \times \frac{x-1}{2x+1} = \frac{x+2}{2x+1}$

(2) $\frac{x^2}{x-1} \times \frac{x^2-1}{x}$

$x^2-1$を因数分解すると$(x-1)(x+1)$となります。

$\frac{x^2}{x-1} \times \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2}{x-1} \times \frac{(x-1)(x+1)}{x}$

$x$と$(x-1)$で約分します。

$\frac{x^2}{x-1} \times \frac{(x-1)(x+1)}{x} = x(x+1) = x^2+x$

(3) $\frac{2x}{x+5} \div \frac{x+2}{x+5}$

割り算を掛け算に変換するために、2番目の分数の分子と分母を反転させます。

$\frac{2x}{x+5} \div \frac{x+2}{x+5} = \frac{2x}{x+5} \times \frac{x+5}{x+2}$

$(x+5)$で約分します。

$\frac{2x}{x+5} \times \frac{x+5}{x+2} = \frac{2x}{x+2}$

(4) $\frac{x}{x^2-2x+1} \div \frac{x^2+3x}{x-1}$

$x^2-2x+1$を因数分解すると$(x-1)^2$となります。また、$x^2+3x$を因数分解すると$x(x+3)$となります。

$\frac{x}{x^2-2x+1} \div \frac{x^2+3x}{x-1} = \frac{x}{(x-1)^2} \div \frac{x(x+3)}{x-1}$

割り算を掛け算に変換します。

$\frac{x}{(x-1)^2} \times \frac{x-1}{x(x+3)}$

$x$と$(x-1)$で約分します。

$\frac{x}{(x-1)^2} \times \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{1}{(x-1)(x+3)} = \frac{1}{x^2+2x-3}$

(5) $\frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3} \div \frac{x-5}{x+3}$

$x^2-3x-10$を因数分解すると$(x-5)(x+2)$となります。$x^2+2x-3$を因数分解すると$(x+3)(x-1)$となります。

$\frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3} \div \frac{x-5}{x+3} = \frac{(x-5)(x+2)}{(x+3)(x-1)} \div \frac{x-5}{x+3}$

割り算を掛け算に変換します。

$\frac{(x-5)(x+2)}{(x+3)(x-1)} \times \frac{x+3}{x-5}$

$(x-5)$と$(x+3)$で約分します。

$\frac{(x-5)(x+2)}{(x+3)(x-1)} \times \frac{x+3}{x-5} = \frac{x+2}{x-1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x+2}{2x+1}$

(2) $x^2+x$

(3) $\frac{2x}{x+2}$

(4) $\frac{1}{x^2+2x-3}$

(5) $\frac{x+2}{x-1}$