点(3, -1)を通り、与えられた直線に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める問題です。 問題は2つあります。 (1) 直線 $y = 3x - 2$ (2) 直線 $2x + 3y - 1 = 0$

1. 問題の内容

点(3, -1)を通り、与えられた直線に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める問題です。

問題は2つあります。

(1) 直線 $y = 3x - 2$

(2) 直線 $2x + 3y - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線 $y = 3x - 2$ に平行な直線を求めます。平行な直線の傾きは同じなので、傾きは3です。点(3, -1)を通る傾き3の直線の方程式は、点傾斜式を用いて次のようになります。

$y - (-1) = 3(x - 3)$

$y + 1 = 3x - 9$

$y = 3x - 10$

次に、直線 $y = 3x - 2$ に垂直な直線を求めます。垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を変えたものです。したがって、垂直な直線の傾きは $-1/3$ です。点(3, -1)を通る傾き $-1/3$ の直線の方程式は、点傾斜式を用いて次のようになります。

$y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{3}x + 1$

$y = -\frac{1}{3}x$

(2)

直線 $2x + 3y - 1 = 0$ を $y$ について解くと、$3y = -2x + 1$ より、$y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$ となります。したがって、この直線の傾きは $-\frac{2}{3}$ です。

まず、直線 $2x + 3y - 1 = 0$ に平行な直線を求めます。平行な直線の傾きは同じなので、傾きは $-\frac{2}{3}$ です。点(3, -1)を通る傾き $-\frac{2}{3}$ の直線の方程式は、点傾斜式を用いて次のようになります。

$y - (-1) = -\frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{2}{3}x + 2$

$y = -\frac{2}{3}x + 1$

次に、直線 $2x + 3y - 1 = 0$ に垂直な直線を求めます。垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を変えたものです。したがって、垂直な直線の傾きは $\frac{3}{2}$ です。点(3, -1)を通る傾き $\frac{3}{2}$ の直線の方程式は、点傾斜式を用いて次のようになります。

$y - (-1) = \frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}$

$y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} - 1$

$y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

平行な直線：$y = 3x - 10$

垂直な直線：$y = -\frac{1}{3}x$

(2)

平行な直線：$y = -\frac{2}{3}x + 1$

垂直な直線：$y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2}$