問題は以下の通りです。 * $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を導け。 * この結果を用いて、(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ と (2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

* $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を導け。

* この結果を用いて、(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ と (2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を導出します。

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を使うために、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ の $a^3 + b^3$ に適用します。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

ここで、$A = a+b$ と置くと、

$A^3 + c^3 - 3abA - 3abc = (A+c)(A^2 - Ac + c^2) - 3ab(A+c)$

$= (A+c)(A^2 - Ac + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

これで、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ が導けました。

次に、この結果を使って (1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ を因数分解します。これは、$c$ を $-c$ に置き換えることで得られます。

$a^3 + b^3 + (-c)^3 - 3ab(-c) = (a+b+(-c))(a^2 + b^2 + (-c)^2 - a(b) - b(-c) - (-c)a)$

$a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = (a+b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

最後に、(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ を因数分解します。

$x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 3(x)(2y)(1) = x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 6xy$ と見なせます。これは、$a=x$, $b=2y$, $c=1$ を $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ に代入することで因数分解できます。

$x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 3(x)(2y)(1) = (x+2y+1)(x^2 + (2y)^2 + 1^2 - x(2y) - (2y)(1) - (1)(x))$

$= (x+2y+1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = (a+b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy = (x+2y+1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$