あるグループで、鉛筆を1人に4本ずつ配ると19本余り、1人に6本ずつ配ると最後の人は4本以上不足する。用意していた鉛筆の本数を求める。

1. 問題の内容

あるグループで、鉛筆を1人に4本ずつ配ると19本余り、1人に6本ずつ配ると最後の人は4本以上不足する。用意していた鉛筆の本数を求める。

2. 解き方の手順

グループの人数を $x$ 人とする。

鉛筆の本数は、1人に4本ずつ配ると19本余るので、$4x + 19$ と表せる。

1人に6本ずつ配ると、最後の人は4本以上不足するので、

鉛筆の本数は $6x - 4$ 本以下である。最後の人が1本ももらえない場合、$6(x-1)$ となる。

したがって、$6(x-1) \le 4x + 19 < 6x$ という不等式が成り立つ。

まず、$4x + 19 < 6x$ を解く。

$19 < 2x$

$9.5 < x$

次に、$6(x-1) \le 4x + 19$ を解く。

$6x - 6 \le 4x + 19$

$2x \le 25$

$x \le 12.5$

したがって、$9.5 < x \le 12.5$ であり、$x$ は人数なので整数であるから、$x = 10, 11, 12$ である。

$x=10$ のとき、鉛筆の本数は $4(10)+19 = 59$ 本。

6本ずつ配ると、$59 \div 6 = 9$ あまり $5$。最後の人は1本以上不足する。成り立つ。

$x=11$ のとき、鉛筆の本数は $4(11)+19 = 63$ 本。

6本ずつ配ると、$63 \div 6 = 10$ あまり $3$。最後の人は3本不足。これは4本以上不足しないので不適。

$x=12$ のとき、鉛筆の本数は $4(12)+19 = 67$ 本。

6本ずつ配ると、$67 \div 6 = 11$ あまり $1$。最後の人は5本不足。成り立つ。

しかし、6本ずつ配ると最後の人は4本以上不足するので、$6x-6 \leq 4x+19$ から $2x \leq 25$ すなわち $x \leq 12.5$。

したがって、x=10, 11, 12の場合を考える。

4本以上不足するため、配れる鉛筆の数は $6x-6$以下である。

$6x-6 \leq 4x+19 < 6x$

$6x-6 \leq 4x+19$ より $2x \leq 25$ なので $x \leq 12.5$

$4x+19 < 6x$ より $19 < 2x$ なので $x > 9.5$

ゆえに、$9.5 < x \leq 12.5$ であるから、x=10, 11, 12

x=10のとき、鉛筆の数は 4x+19 = 4(10)+19 = 59

x=11のとき、鉛筆の数は 4x+19 = 4(11)+19 = 63

x=12のとき、鉛筆の数は 4x+19 = 4(12)+19 = 67

6本ずつ配るとき4本以上不足するから、

x=10のとき、6本ずつ9人に配ると6本余るので成り立たない

x=11のとき、6本ずつ10人に配ると3本余るので、最後の人は3本不足となり不適

x=12のとき、6本ずつ11人に配ると1本余るので、最後の人は5本不足となり適する

よって、x=12

3. 最終的な答え

67本