与えられた式を計算する問題です。式は以下の通りです。 $\frac{\log(a+1) - \log(a)}{\log(2) - 1}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算する問題です。式は以下の通りです。

$\frac{\log(a+1) - \log(a)}{\log(2) - 1}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を簡略化します。

対数の引き算は、真数の割り算に変換できます。つまり、$\log(x) - \log(y) = \log(\frac{x}{y})$です。

分子にこの性質を適用すると、

$\log(a+1) - \log(a) = \log(\frac{a+1}{a})$

となります。

次に、分母を考えます。$\log(2) - 1$ ですが、$1 = \log(10)$ (常用対数) なので、

$\log(2) - 1 = \log(2) - \log(10) = \log(\frac{2}{10}) = \log(\frac{1}{5})$

与えられた式は、次のようになります。

$\frac{\log(\frac{a+1}{a})}{\log(\frac{1}{5})}$

対数の底の変換公式を使うと、$\frac{\log_b(x)}{\log_b(y)} = \log_y(x)$なので、

$\frac{\log(\frac{a+1}{a})}{\log(\frac{1}{5})} = \log_{\frac{1}{5}}(\frac{a+1}{a})$

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{5}}(\frac{a+1}{a})$