実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A$, $B$, $C$ が以下のように定義されています。 $A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$ $B = \{x \mid |x| < 4\}$ $C = \{x \mid k-7 \le x < k+3\}$ (kは定数) (1) 次の集合を求めよ。 (ア) $\overline{B}$ (イ) $A \cup \overline{B}$ (ウ) $A \cap \overline{B}$ (2) $A \subset C$ となる $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、その部分集合 $A$, $B$, $C$ が以下のように定義されています。

$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$

$B = \{x \mid |x| < 4\}$

$C = \{x \mid k-7 \le x < k+3\}$ (kは定数)

(1) 次の集合を求めよ。

(ア) $\overline{B}$

(イ) $A \cup \overline{B}$

(ウ) $A \cap \overline{B}$

(2) $A \subset C$ となる $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) まず、$B$ を具体的に表します。$|x| < 4$ より、$-4 < x < 4$ です。したがって、$B = \{x \mid -4 < x < 4\}$ となります。$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$\overline{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ または } x \ge 4\}$ です。

(イ) $A \cup \overline{B}$ を求めます。

$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$

$\overline{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ または } x \ge 4\}$

$A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$A \cup \overline{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ または } -3 \le x \le 5 \text{ または } x \ge 4\}$ となります。整理すると、$A \cup \overline{B} = \{x \mid x \le 5 \text{ または } x \ge 4 \}$。しかし、区間 $[-3,5]$ と $x \le -4$ または $x \ge 4$ を合わせると, 全ての実数から $-4 < x < -3$ の部分が除かれるので、$A \cup \overline{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ または } x \ge -3\}$となります。

(ウ) $A \cap \overline{B}$ を求めます。

$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$

$\overline{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ または } x \ge 4\}$

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A \cap \overline{B} = \{x \mid -3 \le x \le 5 \text{ かつ } (x \le -4 \text{ または } x \ge 4)\}$ となります。整理すると、$A \cap \overline{B} = \{x \mid 4 \le x \le 5\}$となります。

(2)

$A \subset C$ となる $k$ の範囲を求めます。

$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$

$C = \{x \mid k-7 \le x < k+3\}$

$A \subset C$ であるためには、$-3 \ge k-7$ かつ $5 < k+3$ でなければなりません。

$-3 \ge k-7$ より、$k \le 4$

$5 < k+3$ より、$k > 2$

したがって、$2 < k \le 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\overline{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ または } x \ge 4\}$

(イ) $A \cup \overline{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ または } x \ge -3\}$

(ウ) $A \cap \overline{B} = \{x \mid 4 \le x \le 5\}$

(2) $2 < k \le 4$