与えられた式を因数分解します。問題は2つあり、ここでは1つ目の式 $ (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15 $ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。問題は2つあり、ここでは1つ目の式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を展開しやすいように、項のペアを工夫して選びます。

$(x-1)(x-7)$と$(x-3)(x-5)$をそれぞれ計算します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ と置換すると、

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15 = (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15 = (A+7)(A+15) + 15$

これを展開します。

$(A+7)(A+15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

$A^2 + 22A + 120$ を因数分解します。

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

ここで、$A = x^2 - 8x$ を代入します。

$(A + 10)(A + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

さらに、$x^2 - 8x + 12$を因数分解します。

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

したがって、$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$