与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

この式を $a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2+bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a((b+c)^2+bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)(a(a+b) + c(a+b))$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$