与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)-180$ を展開し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)-180$ を展開し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)$ の部分を展開することを考えます。$(x+1)(x+10)$と$(x+2)(x+9)$をそれぞれ計算し、展開後の式を整理します。

$(x+1)(x+10) = x^2 + 10x + x + 10 = x^2 + 11x + 10$

$(x+2)(x+9) = x^2 + 9x + 2x + 18 = x^2 + 11x + 18$

ここで、$y = x^2 + 11x$ と置換すると、式は $(y+10)(y+18) - 180$ となります。

これを展開すると次のようになります。

$(y+10)(y+18) - 180 = y^2 + 18y + 10y + 180 - 180 = y^2 + 28y$

$y$ を $x^2+11x$ に戻すと、

$(x^2+11x)^2 + 28(x^2+11x) = (x^2+11x)(x^2+11x+28)$

ここで、$x^2+11x+28$を因数分解できるか確認します。

$28$ を掛けて $11$ になる二つの整数は $4$ と $7$ です。

したがって、$x^2+11x+28 = (x+4)(x+7)$

よって、$(x^2+11x)(x^2+11x+28) = x(x+11)(x+4)(x+7)$ となります。

3. 最終的な答え

$x(x+4)(x+7)(x+11)$