与えられた不等式 $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ が成り立つことを示す問題です。また、なぜ平方完成を行うのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ が成り立つことを示す問題です。また、なぜ平方完成を行うのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$

$2x^2 - 4xy + 3y^2 \ge 0$

次に、平方完成を行います。 $x$ について平方完成することを考えます。

$2(x^2 - 2xy) + 3y^2 \ge 0$

$2(x^2 - 2xy + y^2 - y^2) + 3y^2 \ge 0$

$2(x - y)^2 - 2y^2 + 3y^2 \ge 0$

$2(x - y)^2 + y^2 \ge 0$

ここで、$2(x - y)^2$ と $y^2$ はどちらも2乗の形なので、0以上の値をとります。したがって、その和である $2(x - y)^2 + y^2$ も0以上の値をとります。

よって、$2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ は常に成り立つことが示されました。

平方完成を行う理由は、$x$ と $y$ の関係性を明確にし、不等式が常に成り立つことを示すためです。平方完成によって、式を $(x - y)^2$ のような完全平方式の形にすることで、その項が常に非負であることがわかり、不等式の証明に役立ちます。

3. 最終的な答え

$2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ は常に成り立つ。平方完成を行う理由は、不等式が常に成り立つことを示すため。