与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b-c)(ab-bc-ca)$ を展開します。

$a$ を$(ab-bc-ca)$ に掛けると、$a^2b - abc - ca^2$

$b$ を$(ab-bc-ca)$ に掛けると、$ab^2 - b^2c - abc$

$-c$ を$(ab-bc-ca)$ に掛けると、$-abc + bc^2 + c^2a$

これらの結果をすべて足し合わせると、

$a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a$

$=a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 3abc$

これに$abc$を加えると、

$a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 3abc + abc$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 2abc$

ここで、与えられた式を因数分解できるか検討します。式全体を整理すると、

$a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 2abc = (a+b)(b-c)(a-c)$.

展開して確かめてみましょう。

$(a+b)(b-c) = ab - ac + b^2 - bc$

$(ab - ac + b^2 - bc)(a-c) = a^2b - a^2c + ab^2 - abc - abc + ac^2 - b^2c + bc^2$

$= a^2b - a^2c + ab^2 - 2abc + ac^2 - b^2c + bc^2$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 + ac^2 - a^2c - b^2c - 2abc$

3. 最終的な答え

$(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc = (a+b)(b-c)(a-c)$

または

$a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 2abc$

$(a+b)(b-c)(a-c)$