$x$ と $y$ の範囲がそれぞれ $-1 < x < 3$ と $2 < y < 5$ で与えられているとき、以下の式の取り得る値の範囲を求めます。 (1) $x+4$ (2) $3y$ (3) $-x+y$ (4) $3x-2y$

1. 問題の内容

$x$ と $y$ の範囲がそれぞれ $-1 < x < 3$ と $2 < y < 5$ で与えられているとき、以下の式の取り得る値の範囲を求めます。

(1) $x+4$

(2) $3y$

(3) $-x+y$

(4) $3x-2y$

2. 解き方の手順

(1) $x+4$ の範囲を求める。

$-1 < x < 3$ の各辺に4を加える。

$-1 + 4 < x + 4 < 3 + 4$

$3 < x+4 < 7$

(2) $3y$ の範囲を求める。

$2 < y < 5$ の各辺に3をかける。

$2 \times 3 < 3y < 5 \times 3$

$6 < 3y < 15$

(3) $-x+y$ の範囲を求める。

まず $-x$ の範囲を求める。 $-1 < x < 3$ の各辺に $-1$ をかけると不等号の向きが変わる。

$1 > -x > -3$

$-3 < -x < 1$

次に $-x+y$ の範囲を求める。 $-3 < -x < 1$ と $2 < y < 5$ の各辺を足し合わせる。

$-3 + 2 < -x + y < 1 + 5$

$-1 < -x+y < 6$

(4) $3x - 2y$ の範囲を求める。

$3x$ の範囲を求める。 $-1 < x < 3$ の各辺に 3 をかける。

$-3 < 3x < 9$

$-2y$ の範囲を求める。 $2 < y < 5$ の各辺に $-2$ をかけると不等号の向きが変わる。

$-4 > -2y > -10$

$-10 < -2y < -4$

$3x - 2y$ の範囲を求める。 $-3 < 3x < 9$ と $-10 < -2y < -4$ の各辺を足し合わせる。

$-3 + (-10) < 3x - 2y < 9 + (-4)$

$-13 < 3x - 2y < 5$

3. 最終的な答え

(1) $3 < x+4 < 7$

(2) $6 < 3y < 15$

(3) $-1 < -x+y < 6$

(4) $-13 < 3x-2y < 5$