与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まずは式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、同類項をまとめます。しかし、この場合はすでに展開されているので、そのまま次のステップに進みます。

$a$ について降べきの順に整理します。

$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + (b^2c+bc^2)$

さらに式を整理します。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$(b+c)$ が共通因数なので、くくり出します。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

括弧の中身を因数分解します。

$(b+c)[(a+b)(a+c)]$

よって、

$(b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$