## 14. の問題

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4. の問題

14.の問題は、$a > 0$、 $b > 0$ のとき、不等式 $ab + \frac{1}{ab} \geq 2$ を証明し、等号が成り立つときを調べる問題です。

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4. の解き方の手順

1. 相加相乗平均の関係を利用します。 $a > 0$、$b > 0$ より、$ab > 0$、$\frac{1}{ab} > 0$ です。

2. 相加相乗平均の関係より、

$$ab + \frac{1}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}} = 2\sqrt{1} = 2$$

したがって、$ab + \frac{1}{ab} \geq 2$ が成り立ちます。

3. 等号が成り立つのは、$ab = \frac{1}{ab}$ のときです。

$$ab = \frac{1}{ab}$$

$$(ab)^2 = 1$$

$ab > 0$ より、

$$ab = 1$$

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4. の最終的な答え

不等式 $ab + \frac{1}{ab} \geq 2$ は証明されました。等号が成り立つのは、$ab = 1$ のときです。

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5. の問題

15.の問題は、$a > 0$ のとき、$a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求める問題です。

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5. の解き方の手順

1. 与えられた式を変形します。

$$a - 2 + \frac{2}{a+1} = a+1 - 3 + \frac{2}{a+1} = (a+1) + \frac{2}{a+1} - 3$$

2. 相加相乗平均の関係を利用します。$a > 0$ より、$a+1 > 0$ なので、$ (a+1) + \frac{2}{a+1} \geq 2\sqrt{(a+1) \cdot \frac{2}{a+1}} = 2\sqrt{2} $

3. したがって、$ a - 2 + \frac{2}{a+1} = (a+1) + \frac{2}{a+1} - 3 \geq 2\sqrt{2} - 3 $

4. 等号が成り立つのは、$ a+1 = \frac{2}{a+1} $ のときです。

$$(a+1)^2 = 2$$

$a+1 > 0$ より、

$$a+1 = \sqrt{2}$$

$$a = \sqrt{2} - 1$$

$a > 0$ を満たします。

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5. の最終的な答え

$a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値は $2\sqrt{2} - 3$ であり、これは $a = \sqrt{2} - 1$ のときに達成されます。