行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & a & 3 \end{bmatrix}$ の階数を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & a & 3 \end{bmatrix}$ の階数を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の階数を求めるために、行列を簡約化します。

まず、2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 2-2\times1 & 4-2a & 6-2\times3 \\ 0 & a & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 0 & 4-2a & 0 \\ 0 & a & 3 \end{bmatrix}$

次に、3行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 0 & a & 3 \\ 0 & 4-2a & 0 \end{bmatrix}$

$a=0$のとき、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \end{bmatrix}$

3行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

階数は3です。

$a \neq 0$のとき、

2行目を$1/a$倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 0 & 1 & 3/a \\ 0 & 4-2a & 0 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の$(4-2a)$倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 0 & 1 & 3/a \\ 0 & 4-2a - (4-2a)\times 1 & 0 - (4-2a)\times 3/a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 0 & 1 & 3/a \\ 0 & 0 & -12/a + 6 \end{bmatrix}$

ここで、$-12/a + 6 = 0$のとき、$-12+6a=0$ より $6a=12$、つまり$a=2$です。

$a=2$のとき、

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

階数は2です。

$a \neq 2$かつ$a \neq 0$のとき、

$\begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ 0 & 1 & 3/a \\ 0 & 0 & -12/a + 6 \end{bmatrix}$

階数は3です。

したがって、$a=0$のとき階数は3、$a=2$のとき階数は2、$a \neq 0$かつ$a \neq 2$のとき階数は3です。

3. 最終的な答え

- $a = 2$ のとき、階数は2

- $a \neq 2$ のとき、階数は3