与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}$ の階数（ランク）を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}$ の階数（ランク）を求める問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の階数を求めるために、行列を簡約化（行基本変形）します。

ステップ1: 2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1-1 & -1-0 & 0-1 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

ステップ2: 2行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

ステップ3: 3行目に2行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ となります。

この行列は2つの線形独立な行ベクトルを持っています。したがって、行列 $A$ の階数は2です。

3. 最終的な答え

行列 A の階数は 2 です。