複素数平面において、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上の3点O(0), A($\alpha$), B($\beta$)が正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$と$\beta$を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面において、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上の3点O(0), A($\alpha$), B($\beta$)が正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$と$\beta$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$は、中心が$1-i$、半径が$\sqrt{2}$の円を表します。

O(0), A($\alpha$), B($\beta$) が正三角形の頂点をなすことから、中心$1-i$から各頂点までの距離は$\sqrt{2}$です。

正三角形の中心を原点に平行移動することを考えます。$z'=z-(1-i)$ とすると、$|z'| = \sqrt{2}$ となり、3点 O'($-1+i$), A'($\alpha - (1-i)$), B'($\beta-(1-i)$) が正三角形の頂点をなします。

O'が原点ではないので、O'からA', B'へ複素数平面上の回転によって移動することを考えます。

正三角形の一つの頂点がO'($-1+i$)であることと、他の頂点A', B'は原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円上にあることから、$\alpha' = \sqrt{2}e^{i\theta}$、$\beta' = \sqrt{2}e^{i(\theta + 2\pi/3)}$と表現することができます。

$\theta$を変数として、すべての解を求めることは難しいので、O'を中心とする回転を考えます。

$z'=z-(1-i)$ を回転して、$A' = z'e^{\pm i 2\pi/3}$

$A' = (-1+i) e^{\pm i 2\pi/3} = (-1+i)(\cos(2\pi/3) \pm i\sin(2\pi/3))$

$= (-1+i)(-1/2 \pm i\sqrt{3}/2) = (1/2 \mp \sqrt{3}/2) + i(-1/2 \mp \sqrt{3}/2)$

ゆえに、

$A = A' + (1-i) = (1/2 \mp \sqrt{3}/2) + 1 + i(-1/2 \mp \sqrt{3}/2) - i$

$= 3/2 \mp \sqrt{3}/2 + i(-3/2 \mp \sqrt{3}/2)$

$= \frac{3 \mp \sqrt{3}}{2} - i \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$

しかし、点Oが複素数の原点であることから、原点と円の中心を結ぶ線分の角度を考慮して、$\alpha$と$\beta$は以下のようになります。

円の中心は $1-i = \sqrt{2}e^{-i\pi/4}$

正三角形の一つの頂点（原点）から、他の頂点へは$2\pi/3$または$-2\pi/3$回転します。

したがって、$\alpha = \sqrt{2}e^{-i\pi/4+i2\pi/3} + (1-i) = \sqrt{2}e^{i5\pi/12}+(1-i)$ と $\beta = \sqrt{2}e^{-i\pi/4-i2\pi/3}+(1-i) = \sqrt{2}e^{-i11\pi/12}+(1-i)$となります。

$e^{i5\pi/12} = \cos(5\pi/12)+i\sin(5\pi/12) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$e^{-i11\pi/12} = \cos(-11\pi/12)+i\sin(-11\pi/12) = \frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\alpha = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) + 1-i = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + i\frac{\sqrt{3}+1}{2} + 1-i = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\beta = \sqrt{2}(\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) + 1-i = \frac{-\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{-\sqrt{3}-1}{2} + 1-i = \frac{-\sqrt{3}+3}{2} + i\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$

原点を中心とする正三角形ではないので、正三角形の中心で回転させる方法では解くことができません。

中心が$1-i$, 半径$\sqrt{2}$の円上の3点$0, \alpha, \beta$が正三角形をなすという条件から、

$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + i\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}i$

1: 1

2: 3

3: -1

4: 3

最終的な答え：$\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}i$