与えられた式 $4 - 4y + 2xy - x^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $4 - 4y + 2xy - x^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して、因数分解しやすい形にします。

$4 - 4y + 2xy - x^2 = 4 - (x^2 - 2xy + 4y)$

$x^2 - 2xy$に着目すると、$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$を連想できます。

与えられた式に、$y^2$がないので、完全な二乗の形にすることが難しいです。

ただし、$4 - 4y$に着目すると、$4(1 - y)$と書くことができます。

また、定数項の4は、$2^2$です。与えられた式を次のように変形してみます。

$4 - 4y + 2xy - x^2 = 4 - (x^2 - 2xy + 4y)$

$= 4 - (x^2 - 2xy + y^2 - y^2 + 4y)$

$= 4 - ((x-y)^2 - y^2 + 4y)$

$= 4 - (x-y)^2 + y^2 - 4y$

$= 4 - 4y + y^2 - (x-y)^2$

$=(2-y)^2 - (x-y)^2$

ここで、差の二乗の因数分解公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$a = 2-y$, $b = x-y$ とすると、

$(2-y)^2 - (x-y)^2 = ((2-y) + (x-y))((2-y) - (x-y))$

$= (2 - y + x - y)(2 - y - x + y)$

$= (2 + x - 2y)(2 - x)$

$= (2-x)(x-2y+2)$

3. 最終的な答え

$(2-x)(x-2y+2)$