与えられた3次式 $x^3 + (a-2)x^2 - (2a+3)x - 3a$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 + (a-2)x^2 - (2a+3)x - 3a$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、この多項式を $P(x)$ とおきます。

$P(x) = x^3 + (a-2)x^2 - (2a+3)x - 3a$

$P(x)$ を因数分解するために、$x$ に適切な値を代入して $P(x) = 0$ となるような $x$ の値を見つけます。ここでは、$x = -a$ を代入してみます。

$P(-a) = (-a)^3 + (a-2)(-a)^2 - (2a+3)(-a) - 3a = -a^3 + (a-2)a^2 + (2a+3)a - 3a$

$P(-a) = -a^3 + a^3 - 2a^2 + 2a^2 + 3a - 3a = 0$

したがって、$x = -a$ は $P(x) = 0$ の解なので、$P(x)$ は $(x+a)$ を因数に持ちます。

次に、$P(x)$ を $(x+a)$ で割ります。

```

x^2 + (a-2)x - 3

x + a | x^3 + (a-2)x^2 - (2a+3)x - 3a

-(x^3 + ax^2)

------------------

(a-2-a)x^2 - (2a+3)x

(-2)x^2 - (2a+3)x

-(-2x^2 - 2ax)

------------------

(-2a-3+2a)x - 3a

-3x - 3a

-(-3x - 3a)

------------

0

```

したがって、$P(x) = (x+a)(x^2-2x-3)$ となります。

さらに、$x^2 - 2x - 3$ を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

したがって、$P(x) = (x+a)(x-3)(x+1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+a)(x-3)(x+1)$