与えられた式 $(x^2+3x+6)(x^2-4x+6)-8x^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2+3x+6)(x^2-4x+6)-8x^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理してから因数分解を行います。

まず、与えられた式を展開します。

$(x^2+3x+6)(x^2-4x+6)-8x^2 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 3x^3 - 12x^2 + 18x + 6x^2 - 24x + 36 - 8x^2$

次に、同類項をまとめます。

$x^4 - x^3 - 8x^2 - 6x + 36$

ここで、$x^2 + ax + 6$ の形になるように因数分解できると仮定します。

つまり、$(x^2+ax+6)(x^2+bx+6) = x^4 + (a+b)x^3 + (ab+12)x^2 + 6(a+b)x + 36$

係数を比較すると、以下のようになります。

$a+b = -1$

$ab+12 = -8$

$6(a+b) = -6$

$a+b=-1$より、$6(a+b) = -6$は満たされます。

$ab+12 = -8$ より $ab = -20$

$a+b = -1$と$ab = -20$を満たす$a$と$b$を見つけます。

$a$と$b$は二次方程式 $t^2 + t - 20 = 0$ の解となります。

$(t+5)(t-4)=0$より、$t=-5,4$。

したがって、$a = -5$、$b = 4$とすると、$a+b = -1$、$ab=-20$ を満たします。

よって、

$x^4 - x^3 - 8x^2 - 6x + 36 = (x^2 - 5x + 6)(x^2 + 4x + 6)$

さらに、$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ なので、

$(x^2 - 5x + 6)(x^2 + 4x + 6) = (x-2)(x-3)(x^2 + 4x + 6)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-3)(x^2+4x+6)$