与えられた式 $x^6 - 19x^3 - 216$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 19x^3 - 216$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = y$ と置いて、与えられた式を $y$ の二次式で表します。

$x^6 - 19x^3 - 216 = (x^3)^2 - 19(x^3) - 216 = y^2 - 19y - 216$

次に、この二次式を因数分解します。積が-216、和が-19になる2つの数を見つけます。それは-27と8です。

したがって、$y^2 - 19y - 216 = (y - 27)(y + 8)$ と因数分解できます。

ここで、$y = x^3$ を元に戻します。

$(y - 27)(y + 8) = (x^3 - 27)(x^3 + 8)$

さらに、$x^3 - 27$ と $x^3 + 8$ はそれぞれ $a^3 - b^3$ と $a^3 + b^3$ の形なので、因数分解の公式を利用できます。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

したがって、元の式は次のように因数分解できます。

$x^6 - 19x^3 - 216 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x + 2)(x^2 + 3x + 9)(x^2 - 2x + 4)$